二维变换

旋转

在二维 XY 坐标系中，向量(x, y)基于原点逆时针旋转 $\theta$ 角度至向量(x', y')，其变换矩阵为

$$\begin{bmatrix}x' & y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$$

推导如下：

$$x^2 + y^2 = x'^2 + y'^2$$ $$sin\alpha = { y \over { \sqrt { x^2 + y^2 } } } \qquad cos\alpha = { x \over { \sqrt { x^2 + y^2 } } }$$ $$\begin{split} sin(\alpha + \theta) & = sin\alpha cos\theta + cos\alpha sin\theta \\ & = cos\theta { y \over { \sqrt { x^2 + y^2 } } } + sin\alpha { x \over { \sqrt { x^2 + y^2 } } } \\ & = { y' \over { \sqrt { x'^2 + y'^2 } } } \end{split}$$ $$\begin{split} &\Rightarrow y' = x sin\theta + y cos\theta\\ &\Rightarrow x' = x cos\theta - y sin\theta\\ &\Rightarrow \begin{bmatrix}x' & y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \end{split}$$

缩放

在二维 XY 坐标系中，向量(x, y)进行缩放n倍得到向量(nx, ny)，其变换矩阵为

$$\begin{bmatrix} nx & ny \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n & 0 \\ 0 & n \end{bmatrix}$$

平移

在二维坐标系中，向量(x, y)进行平移得到(x+m, y+n)，需要引入齐次坐标得到变换矩阵，其变换矩阵为

$$\begin{bmatrix} x+m & y+n & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ m & n & 1 \\ \end{bmatrix}$$

线性变换

在二维 XY 坐标系中，向量的变换都可由旋转、缩放和平移进行线性组合变换，通过逆矩阵可以进行还原变换

$$\begin{split} T&=SM_1M_2...M_n \\ S&=TM_n^{-1}M_{n-1}^{-1}...M_1^{-1} \end{split}$$

单位矩阵的逆矩阵为其转置矩阵

三维变换

将三维变换转换为二维变换

旋转

分别围绕 x/y/z 轴 旋转

• 绕 z 轴 旋转

$$\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0 & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

• 绕 x 轴 旋转

$$\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & sin\theta & 0 \\ 0 & -sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

• 绕 y 轴 旋转

$$\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ cos\theta & 0 & sin\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

• 绕经过原点的直线旋转角度$\theta$，如图，旋转轴可通过单位向量获取相关值

1.将旋转轴 OA 旋转至 YOZ 平面内，即 OA 绕 y 轴 旋转角度 $\alpha$ ，变换矩阵如下

$$R_y(\alpha)= \begin{bmatrix} -sin\alpha & 0 & cos\alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ cos\alpha & 0 & sin\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

2.将旋转轴 OA 旋转至 Z 轴上，即 OA 绕 x 轴 旋转角度 $\beta$ ，变换矩阵如下

$$R_x(\beta)= \begin{bmatrix} cos\beta & sin\beta & 0 & 0 \\ -sin\beta & cos\beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

3.物体绕 z 轴 旋转角度 $\theta$ ，变换矩阵如下

$$R_z(\theta)= \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0 & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

4.物体还原步骤 2 和步骤 1 的变换，即进行逆矩阵变换，所以最终变换矩阵如下

$$\begin{split} R(\theta)&=R_y(\alpha)R_x(\beta)R_z(\theta)R_x(-\beta)R_y(-\alpha)\\ &=R_y(\alpha)R_x(\beta)R_z(\theta)R_x^{-1}(\beta)R_y^{-1}(\alpha)\\ &=R_y(\alpha)R_x(\beta)R_z(\theta)R_x^T(\beta)R_y^T(\alpha) \end{split}$$

缩放

缩放变换矩阵如下

$$Z(n)= \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

平移

平移变换矩阵如下

$$T(a, b, c)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ a & b & c & 1 \end{bmatrix}$$

在三维坐标系中，任何变换都可通过上述三种变换进行组合